轮次消除固定点的普遍性

近期关于分布式图算法的工作（如 STOC 2022、ITCS 2022、PODC 2020）关注以下开放问题：轮次消除固定点是否是证明下界的通用技术？即，给定一个至少需要 $\Omega(\log n)$ 轮的局部可检查问题 $\Pi$，我们是否总能找到一个 $\Pi$ 的松弛形式 $\Pi'$，其是轮次消除技术的非平凡固定点（见 STOC 2016、PODC 2019）？如果是这样，那么分布式计算复杂性的关键部分也将是可判定的。迄今为止的主要障碍是一类 homomorphism 问题[ITCS 2022]，这些问题需要 $\Omega(\log n)$ 轮，但唯一已知的证明基于 Marks 技术[J. AMS 2016]。我们发展了一种系统构建轮次消除下界的新技术。通过使用所谓的 tripotent 输入，我们表明上述 homomorphism 问题确实 admits 一种基于轮次消除固定点的下界证明。因此，我们消除了轮次消除普遍性的唯一已知障碍。然而我们还提出了一个新的障碍：我们表明存在一些问题，其输入需要 $\Omega(\log n)$ 轮，但不存在基于对非平凡轮次消除固定点的松弛形式的证明。因此，轮次消除不能是具有输入问题的通用技术（但可能是没有输入问题的通用技术）。我们还证明了第一个适用于任何问题（有无输入均可）的通用下界定理，该问题是轮次消除中的固定点。在先前的此类结果中，只能处理某些非常受限的输入。