分布式问题的一个自动加速定理

近期，Brandt等人[STOC'16]证明了分布式Lovász局部引理的下界，Chang与Pettie[FOCS'17]猜想对于充分松弛的LLL准则该下界是紧的。他们结果的核心是一种加速技术，对于围长至少为$2t+2$的图，该技术将针对某一特定LLL问题的任意$t$轮算法转化为针对同一问题的$(t-1)$轮算法。我们大幅改进该技术，证明对任意局部可检验问题$\Pi$均存在此类加速，区别在于所推导的$(t-1)$轮算法所解的问题$\Pi_1$不一定与$\Pi$相同。我们的加速是自动的，即存在固定过程将$\Pi$的描述转化为$\Pi_1$的描述；并且是可逆的，即任意针对$\Pi_1$的$(t-1)$轮算法可转化为针对$\Pi$的$t$轮算法。特别地，对任意在具有$n$个节点、最大节点度$\Delta$且围长至少为$2t+2$的图上精确确定性时间复杂度$T(n, \Delta) \leq t$的局部可检验问题$\Pi$，存在可从$\Pi$推导出的问题序列$\Pi_1, \Pi_2, \dots$，其时间复杂度分别为$T(n, \Delta)-1, T(n, \Delta)-2, \dots$。作为我们广义加速的首个应用，我们解决了Naor与Stockmeyer[STOC'93]的一个长期开放问题：我们证明奇度图中的弱$2$-着色不能在$o(\log^* \Delta)$轮内求解，从而为其上界提供了匹配的下界。