关于带通行权的博弈的 Sprague-Grundy 值
组合数学
2025-11-11 v2
摘要
本文考察两人不完全博弈中的通行权问题。若将若干博弈组成可分联合体，在每一步中，当前玩家选择一个组成部分并在其中进行合法移动。对于可分联合体，已知确定哪位玩家拥有获胜策略的时间，受限于计算各组成部分 SG 值的时间以及它们的异或运算时间。然而，若允许在博弈过程中进行通行权移动，分析变得更为复杂。通行权移动允许每位玩家在非终止局面时恰好跳过一个回合，随后双方均不可再使用通行权。我们在带通行权博弈的 SG 值上建立了同态映射。即若所有组成部分满足称为“一 moves game”的条件，则带通行权的可分联合体的 SG 值等于不带通行权的尼姆博弈中，各组成部分 SG 值对应的堆大小的 SG 值。这保证了确定带通行权可分联合体中哪位玩家拥有获胜策略的时间，可被限制为计算所有无通行权组成部分的 SG 值时间加上一个带通行权的尼姆局面时间。我们还展示了该同态映射如何用于确定某些巧克力博弈的 SG 值。
关键词
引用
@article{arxiv.2501.15786,
title = {On the Sprague-Grundy values of games with a pass},
author = {Hikaru Manabe and Ryohei Miyadera and Koki Suetsugu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.15786},
year = {2025}
}
备注
16 pages, 12 figures