关于精确 $k$-Nim 的 Sprague-Grundy 函数

Moore 对 {\sc Nim} 游戏的推广玩法如下。设 $n$ 和 $k$ 为两个整数，满足 $1 \leq k \leq n$。给定 $n$ 堆棋子，两名玩家轮流行动，从至少一堆、至多 $k$ 堆中移除棋子。进行最后一步移动的玩家获胜。该游戏由 Moore 于 1910 年解决，且其 Sprague-Grundy 函数的显式公式由 Jenkyns 和 Mayberry 在 1980 年给出，但仅针对 $n = k+1$ 的情形。我们引入了 {\sc Nim} 的另一种推广，称为 {\sc Exact $k$-Nim}，其中每一步恰好减少 $k$ 堆。我们给出了 {\sc Exact $k$-Nim} 的 Sprague-Grundy 函数在 $2k \geq n$ 情形下的显式公式。在 $n=2k$ 时，我们的公式与 Jenkyns 和 Mayberry 的公式惊人地相似。