关于 $H^1$ 初值下非线性 Schrödinger 方程的分裂方法

本文针对非线性 Schrödinger 方程：$$\partial_t u = i \Delta u + i\lambda |u|^{p} u,\qquad u (x,0) =\phi (x),$$ 其中 $(x,t) \in \mathbb{R}^d \times [0,\infty)$，且当 $d\geq3$ 时 $0< p < 4/(d-2)$，当 $d=1,2$ 时 $0< p<\infty$，建立了 Ignat 引入的算子分裂格式 $Z_{\tau}$ 在 $H^1$ 初值下的收敛性结果。我们证明了该格式在 $H^1 (\mathbb{R}^d)$ 空间初值下具有 $\mathcal{O}(\tau^{1/2})$ 阶的 $L^2$ 收敛性。