关于 Feigenbaum 图的谱性质

水平可见图（HVG）是从实数值有序序列中提取出的简单图，该映射已被用于为时间序列提供组合加密，以执行基于网络的时间序列分析。尽管这些图的某些谱性质——例如邻接矩阵的最大特征值——已被常规用作刻画时间序列复杂度的度量，但对此类性质的理论理解仍然缺乏。本工作中，我们探索了与周期及混沌时间序列相关的这些图的若干代数与谱性质。我们聚焦于 Feigenbaum 图族，它们是按照经历倍周期通向混沌（Feigenbaum 情景）的单峰映射轨迹对应构造的 HVG。对于映射参数 $\mu$ 取使轨道以周期 $2^n$ 为周期的值的集合，Feigenbaum 图完全由两个整数（n,k）刻画并容许一种代数结构。我们探索了这些图在有限 n 与 k 下的谱性质，并在其他有趣模式中发现了最大特征值的标度关系，且证明了解释它的若干界。我们还给出了关于少数其他性质（包括行列式或生成树数目）的数值与严格结果。第二步，我们探索了在映射参数 $\mu$ 取使系统展现混沌的值范围内获得的 Feigenbaum 图集合。我们表明，此时 Feigenbaum 图对每个 $\mu$ 值形成一个系综，且系统典型地弱自平均。出乎意料地，我们发现尽管最大特征值可区分混沌与 iid 过程，但它并非量化过程混沌性的良好度量，而特征值密度表现更佳。