关于谱密度特性假设及其应用

我们证明了在任意 $p$-adic 处均非温室（non-tempered）的准离散表示对于 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ 的密度较小 —— 这在该设置下确认了 Sarnak 的密度假设。作为其他材料之一，证明使用了 Nelson 和 Venkatesh 所发展的 Lie 群表示的微分位分析工具。作为一个应用，我们证明了 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$-作用在 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ 上的 Diophantine 指数是\emph{最优的}——这解决了 Ghosh、Gorodnik 和 Nevo 的猜想。