关于无线通信中 CDMA 系统的信干比

令 $\{s_{ij}:i,j=1,2,...\}$ 由 $\mathbb{C}$ 中独立同分布随机变量组成，满足 $\mathsf{E}s_{11}=0$，$\mathsf{E}|s_{11}|^2=1$。对每个正整数 $N$，令 $\mathbf{s}_k={\mathbf{s}}_k(N)=(s_{1k},s_{2k},...,s_{Nk})^T$，$1\leq k\leq K$，其中 $K=K(N)$ 且当 $N\to\infty$ 时 $K/N\to c>0$。假设对固定正整数 $L$，对每个 $N$ 与 $k\leq K$，${\bolds\alpha}_k=(\alpha_k(1),...,\alpha_k(L))^T$ 为随机的、独立于 $s_{ij}$，且 $(\alpha_1,...,\alpha_K)$ 的经验分布以概率 1 弱收敛于 $\mathbb{C}^L$ 上概率分布 $H$。令 ${\bolds\beta }_k={\bolds\beta}_k(N)=(\alpha_k(1)\mathbf{s}_k^T,...,\alpha_k(L)\mathbf{s}_k^T)^T$ 并置 $C=C(N)=(1/N)\sum_{k=2}^K{\bolds \beta}_k{\bolds \beta}_k^*$。令 $\sigma^2>0$ 任意。则定义 $SIR_1=(1/N){\bolds\beta}^*_1(C+\sigma^2I)^{-1}{\bolds\beta}_1$，其表示无线通信中直接序列码分多址系统内用户 1 相对于其余 $K-1$ 个用户的最佳信干比。本文证明，以概率 1，当 $N\to\infty$ 时 $SIR_1$ 趋于极限 $\sum_{\ell,\ell'=1}^L\bar{\alpha}_1(\ell)\alpha_1(\ell')a_{\ell,\ell'}$，其中 $A=(a_{\ell,\ell'})$ 为非随机、Hermitian 正定矩阵，且是满足 $A=\bigl(c \mathsf{E}\frac{{\bolds\alpha}{\bolds \alpha}^*}{1+{\bolds\alpha}^*A{\bolds\alpha}}+\sigma^2I_L\bigr)^{-1}$ 的此类唯一矩阵，这里 ${\bolds\alpha}\in \mathbb{C}^L$ 具分布 $H$。该结果推广了此前在更受限假设下导出的结论。