关于格拉斯曼流形的等变量子微分方程与 qKZ 差分方程的 Satake 对应

我们考虑格拉斯曼流形 $G(k,n)$（参数化 $\mathbb{C}^n$ 的 $k$ 维子空间）的等变量子微分方程 (qDE) 和 qKZ 差分方程的联合系统。首先，我们建立了 $G(k,n)$ 的这个联合系统与射影空间 $\mathbb{P}^{n-1}$ 的相应系统之间的联系。具体来说，我们证明，在 $G(k,n)$ 和 $\mathbb{P}^{n-1}$ 的等变上同调的适当 \textit{Satake 等同}下，$G(k,n)$ 的联合系统规范等价于 $\mathbb{P}^{n-1}$ 上同调的 $k$ 次外幂上的一个微分-差分系统。其次，我们证明了 arXiv:1909.06582, arXiv:2203.03039 中所述的格拉斯曼流形的 \textcyr{B}-定理与 Satake 等同是兼容的。这意味着 $\mathbb{P}^{n-1}$ 的 \textcyr{B}-定理通过 Satake 等同推广到了 $G(k,n)$。作为推论，我们推导出了 $G(k,n)$ 的联合 qDE 和 qKZ 系统的多维超几何解的行列式公式和新的积分表示。最后，我们分析了与 $G(k,n)$ 相关的 qDE 和 qKZ 方程联合系统的 Stokes 现象。我们证明了解的 Stokes 基对应于 $G(k,n)$ 上等变凝聚层的导出范畴中完全例外集合的显式 $K$-理论类。此外，我们证明了 Stokes 矩阵等于关于这些例外 $K$-理论基的等变 Euler-Poincar\'e-Grothendieck 配对的 Gram 矩阵。