关于线性哈希猜想若干变体之间的关系

在具有 $\beta$ 个桶、大小为 $u$ 的全集 ${\mathcal{U}=\{0,1,\ldots, u-1\}}$ 的线性哈希 ($\mathsf{LH}$) 中，项目 $\{x_1,x_2,\ldots, x_n\}\subset \mathcal{U}$ 通过哈希函数 $$x_i\mapsto (ax_i+b)\mod p \mod \beta$$ 被放入桶中，其中 $p\in [u,2u]$ 为某素数，$a,b \in [1,p]$ 为随机选取的整数。$\mathsf{LH}$ 的“最大负载(maxload)”是被分配到最满桶中的项目数。最坏情况项目集下的期望最大负载是衡量 $\mathsf{LH}$ 在桶间分配项目效果的一个自然指标。固定 $\beta=n$。尽管 $\mathsf{LH}$ 简单，但其最坏情况最大负载的界极难确定。众所周知，在随机输入下 $\mathsf{LH}$ 达到最大负载 $\Omega\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)$；这目前是 $\mathsf{LH}$ 期望最大负载的最佳下界。最近 Knudsen 给出了 $\widetilde{O}(n^{1 / 3})$ 的上界。“$\mathsf{LH}$ 的最坏情况期望最大负载是否为 $n^{o(1)}$？”是离散数学中最基本的开放问题之一。本文提出一组中间开放问题以帮助研究者在此问题上取得进展。我们建立了这些中间开放问题之间的关系，并对它们取得了部分进展。