有限独立性下的快速排序、最大桶与最小哈希

随机算法与数据结构常在可访问完美随机源之假设下分析。衡量哈希函数或随机数生成器“随机”程度的最基本度量是它的独立性：若每个变量均匀且每个大小为 $k$ 的子集独立，则称随机变量序列是 $k$-独立的。本文我们考虑有限独立性下的三种经典算法。我们给出了有限独立性下随机快速排序、最小哈希与最大桶大小的新界。我们的结果可总结如下。\n-随机快速排序。当使用 $5$-独立哈希函数计算主元元素时，Karloff 与 Raghavan (J.ACM'93) 展示了一种特殊快速排序版本具有 $O ( n \log n)$ 期望最坏情况运行时间。我们改进此结果，表明仅用 $4$-独立性即可达到相同运行时间。\n-最小哈希。对于集合 $A$，考虑特定元素映射到最小哈希值的概率。已知 $5$-独立性蕴含最优概率 $O (1 /n)$。Broder 等人 (STOC'98) 表明 $2$-独立性蕴含其为 $O(1 / \sqrt{|A|})$。我们给出了匹配下界以及针对 $3$- 和 $4$-独立哈希函数的新的紧界。\n-最大桶。我们考虑将 $n$ 个球使用 $k$-独立哈希函数分配到 $n$ 个桶并分析最大桶大小的情况。Alon 等人 (STOC'97) 表明存在 $2$-独立哈希函数蕴含大小为 $\Omega ( n^{1/2})$ 的桶。我们推广该界，提供蕴含大小 $\Omega ( n^{1/k})$ 的 $k$-独立函数族。