关于弱拓扑与强拓扑中概率测度的最优估计

给定从概率测度 $\mathbb{P}$（定义在例如 $\mathbb{R}^d$ 上）独立同分布抽取的随机样本，众所周知，经验估计量是 $\mathbb{P}$ 在弱拓扑下的最优估计量，但在强拓扑（由全变差距离诱导）下，甚至不是其密度（如果存在）的一致估计量。另一方面，各种流行的密度估计量，如核密度估计量和小波密度估计量，在强拓扑下是最优的，因为它们在对所有密度 Sobolev 球的估计量中达到了极小极大速率。最近，Gin\'{e} 和 Nickl 的一系列论文表明，这些在强拓扑下最优的 $\mathbb{R}$ 上的密度估计量，对于某些能使 $\|\cdot\|_{\mathcal{F}}$ 度量弱拓扑的 $\mathcal{F}$ 选择（其中 $\|\mathbb{P}\|_{\mathcal{F}}:=\sup\{\int f\,\mathrm{d}\mathbb{P}: f\in\mathcal{F}\}$），在 $\|\cdot\|_{\mathcal{F}}$ 下也是最优的。在本文中，我们通过选择 $\mathcal{F}$ 为再生核希尔伯特空间中的单位球（例如定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的 $\mathcal{F}_H$）来研究弱拓扑和强拓扑中的最优估计问题，这一选择在理论和计算上均具有意义。在关于再生核的一些温和条件下，我们证明了 $\|\cdot\|_{\mathcal{F}_H}$ 度量弱拓扑，并且核密度估计量（具有 $L^1$ 最优带宽）以与维度无关的最优速率 $n^{-1/2}$ 在 $\|\cdot\|_{\mathcal{F}_H}$ 下估计 $\mathbb{P}$，同时提供了核密度估计量的均匀中心极限定理。