论经典与量子波函数的算子起源

我们研究经典 Koopman-von Neumann 波函数 $\psi_{KvN}$ 以及量子力学波函数 $\psi_{QM}$ 的算子代数起源。我们引入基于非交换泊松结构、辛结构与非交换微分结构的算子力学（OM）形式体系。OM 作为一个前量子代数，从中可导出与现实经典和量子力学相关的代数结构。特别地，$\psi_{KvN}$ 与 $\psi_{QM}$ 都是这一前量子形式体系的推论，无需先验的希尔伯特空间。OM 允许在不引入态的情况下定义算子期望值的一种代数概念。由此得到一个相空间丛 ${\cal E}$。我们证明 $\psi_{KvN}$ 与 $\psi_{QM}$ 都是 ${\cal E}$ 中的截面。$\psi_{KvN}$ 与 $\psi_{QM}$ 的区别源于一个被解释为 ${\cal E}$ 上截面“扭曲”的量子化映射。我们还证明薛定谔方程由 Koopman-von Neumann 方程导出。这意味着薛定谔方程与量子波函数都不是基本结构，而是都起源于前量子算子代数。最后，我们评述了这些算子之间的纠缠如何暗示空间的涌现，以及该形式体系向场论的可能推广。