给定路径长度的 t 进制树的个数

我们证明，路径长度为 p 的 t 进制树的个数为 $\exp(h(t^{-1})t\log t \frac{p}{\log p}(1+o(1)))$，其中 $\entropy(x){=}{-}x\log x {-}(1{-}x)\log (1{-}x)$ 为二进制熵函数。除了其内在的组合数学兴趣外，该问题最近在信息论语境中出现，其中 t 进制树的路径长度为 p 的个数估计了通用类型的个数，等效地，估计了长度为 p 且字母表大小为 t 的序列的 Lempel-Ziv'78 字典的不同可能数的个数。