关于余退化有界图上的最小圈覆盖问题

2021年，Duarte、Oliveira 和 Souza [MFCS 2021] 展示了一些以补图树宽（称为余树宽）为参数时是 FPT 的问题。由于图的退化度至多为其树宽，他们也引入了余退化（补图的退化度）作为参数的研究。1976年，Bondy 和 Chvátal [DM 1976] 引入了图闭包的概念：令 $\ell$ 为整数；具有 $n$ 个顶点的图 $G$ 的 $(n+\ell)$-闭包 $\operatorname{cl}_{n+\ell}(G)$ 是通过递归地在度数和至少为 $n+\ell$ 的非相邻顶点对之间添加边，直到不存在这样的顶点对为止得到的。若在 $n$ 阶图全体上定义的图性质 $\Upsilon$ 满足：对于任意不满足 $\Upsilon$ 的 $n$ 阶图 $G$，若 $uv$ 不是 $G$ 的边且 $G+uv$ 满足 $\Upsilon$，则有 $d(u)+d(v)< n+\ell$，则称 $\Upsilon$ 是 $(n+\ell)$-稳定的。Duarte 等人 [MFCS 2021] 基于闭包概念开发了一个用于余退化参数化的算法框架，以求解对某些由余退化界定的函数所界定的 $\ell$ 而言是 $(n+\ell)$-稳定的问题。本文中，我们首先确定了具有有界圈覆盖这一性质的稳定性。之后，将 Duarte 等人 [MFCS 2021] 的框架与 Jansen、Kozma 和 Nederlof [WG 2019] 的若干结果相结合，我们得到了在余退化至多为 $k$ 的图上求解最小圈覆盖的 $2^{\mathcal{O}(k)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ 时间算法，该算法推广了 Duarte 等人 [MFCS 2021] 和 Jansen 等人 [WG 2019] 关于哈密顿圈问题的结果。