关于中心连通群的 Mackey 公式

设 $\mathbf{G}$ 为 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的连通约化代数群，设 $F : \mathbf{G} \to \mathbf{G}$ 为赋予 $\mathbf{G}$ 一个 $\mathbb{F}_q$-有理结构的 Frobenius 自同态。Bonnaf\'e--Michel 已证明，除了 $q = 2$ 且 $\mathbf{G}$ 具有 $\sf{E}_6$、$\sf{E}_7$ 或 $\sf{E}_8$ 型的准单分量这一情况外，Deligne--Lusztig 诱导与限制的 Mackey 公式对偶 $(\mathbf{G},F)$ 成立。利用他们的技术，我们证明了若 $q = 2$ 且 $Z(\mathbf{G})$ 连通，则除非 $\mathbf{G}$ 具有 $\sf{E}_8$ 型的准单分量，否则 Mackey 公式成立。例如，这确立了 $(\mathbf{G},F)$ 为 $\sf{E}_7(2)$ 型时 Mackey 公式的成立。结合此结果与 Bonnaf\'e--Michel 的工作，我们可以得出结论：若 $Z(\mathbf{G})$ 连通，则 Mackey 公式在由幺幂支撑类函数构成的空间上成立。