关于 Tate 正规形 $E_5$ 与 $E_7$ 的 Hasse 不变量

证明了一个公式，用于计算 Tate 正规形 $E_5(b)$（对应 5 阶点）的 Hasse 不变量作为参量 $b$ 的多项式在 $\mathbb{F}_l$ 上的线性因子个数，以虚二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-l})$ 的类数表示，证明了作者 2005 年提出的一个猜想。对具有常数项 $-1$ 的二次因子证明了类似定理，并陈述了一个关于特定形式四次因子个数以 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5l})$ 类数表示的定理。这些结果被证明蕴含 Nakaya 近期关于对应于 Fricke 群 $\Gamma_0^*(5)$ 的超奇异多项式 $ss_l^{(5*)}(X)$ 在 $\mathbb{F}_l$ 上线性因子个数的猜想。确定了对应于 7 阶点的 Tate 正规形 $E_7$ 的 Hasse 不变量的不可约因子的次数与形式，并由此表明对于群 $\Gamma_0^*(N)$，当 $N \in \{2,3,5,7\}$ 时多项式 $ss_l^{(N*)}(X)$ 对任意素数 $l \neq N$ 在 $\mathbb{F}_{l^2}$ 中有根。