关于PosSLP的困难性

问题$\textrm{PosSLP}$涉及判定由给定直线程序计算的整数是否为正。该问题在计算复杂性领域备受关注，因其提供了数值计算相关复杂性的完整刻画。然而，$\textrm{PosSLP}$的非平凡下界仍属未知。本文中，我们证明在Dutta、Saxena与Sinhababu（STOC'2018）提出的关于多项式根式的复杂性猜想假设下，$\textrm{PosSLP} \in \textrm{BPP}$将蕴含$\textrm{NP} \subseteq \textrm{BPP}$。我们的证明基于Perrucci与Sabia（JDA'2005）所证得的判定由SLP计算的一元多项式是否具有实根的$\textrm{NP}$困难性。因此，我们对$\textrm{PosSLP}$的下界构成理解该问题复杂性的重大进展。它是有条件的首个$\textrm{PosSLP}$非平凡下界。此外，我们证明对以直线程序作为输入给出的整数一元多项式实根计数问题是$\#\textrm{P}$-困难的。