关于 Turan (3,4) 问题极值例子的 Fon-der-Flaass 解释

1941 年，Turan 猜想任何不含 4 顶点独立集的 3-超图的边密度 >= 4/9(1-o(1))，并给出了见证此界的第一个例子。Brown (1983) 和 Kostochka (1982) 找到了许多具有此密度的其他例子。Fon-der-Flaass (1988) 提出了一种通用构造，将任意无 $\vec C_4$ 的有向图 $\Gamma$ 转化为 Turan (3,4)-图。他观察到所有 Turan-Brown-Kostochka 例子均由其构造产生，并证明了以这种方式可获得的任何 Turan (3,4)-图的边密度界 >= 3/7(1-o(1))。在本文中，在有向图 $\Gamma$ 的底层无向图 $G$ 满足以下任一假设的条件下：1. $G$ 是完全多部图；2. $G$ 的边密度 >= (2/3-epsilon)，其中 epsilon>0 为某个绝对常数，我们确立了由 Fon-der-Flaass 构造产生的任何 Turan (3,4)-图的边密度的最优界 4/9(1-o(1))。在不对 $\Gamma$ 作任何额外假设的情况下，我们也能将 Fon-der-Flaass 的界改进至 7/16(1-o(1))。