关于频率学派的错误的发现率：渐近展开

考虑原假设 $H_0:\theta\in\Theta_0$ 的一个检验问题。标准的频率学派做法是当 p 值小于阈值 $\alpha$（通常为 0.05）时拒绝原假设。我们提出一个问题：频率学派拒绝的原假设中有多少个实际上是真的。确切地说，我们在恰当先验密度 $g(\theta)$ 下考察贝叶斯错误发现率 $\delta_n=P_g(\theta\in\Theta_0|p-value<\alpha)$。它依赖于先验 $g$、样本量 $n$、阈值 $\alpha$ 以及检验统计量的选择。我们证明 Benjamini--Hochberg FDR 事实上在任意固定 $n$ 下于 $g$ 下几乎必然收敛到 $\delta_n$。对于单侧原假设，当检验统计量为 MLE 时我们在连续指数族中推导了 $\delta_n$ 的三阶渐近展开，当检验统计量为样本中位数时我们在位置族中推导了其展开。我们也简要提及当检验统计量为 MLE 时均匀族中的展开。这些展开通过组合 CDF 的 Edgeworth 展开、分位函数的 Cornish--Fisher 展开以及各种 Taylor 展开得到。数值结果表明即便对较小的 $n$（例如 $n=10$）这些展开也非常准确。我们从这些展开中得出许多有用结论，特别地，频率学派不易出现错误发现，除非先验 $g$ 过于尖峰。结果由许多例子说明。