论分析中出现的某些模的忠实平坦性

本文研究了交换环上模的忠实平坦性概念，针对泛函分析中出现的两个 $R$-模 $M$，其中 $R$ 是 Banach 代数，$M$ 是 Hilbert 空间。得出以下结果：若 $X$ 是局部紧 Hausdorff 拓扑空间，且 $\mu$ 是 $X$ 上的正 Radon 测度，则 $L^2(X,\mu)$ 是平坦 $L^\infty(X,\mu)$-模。此外：(1) 若 $\mu$ 是 $\sigma$-有限的，则对于 $L^\infty(X,\mu)$ 的每个有限生成、非零、真理想 $\mathfrak{n}$，有 $\mathfrak{n}L^2(X,\mu)\subsetneq L^2(X,\mu)$。(2) 若 $X$ 是递增 Borel 集 $U_n$ ($n\in \mathbb{N}$) 的并集，且对每个 $n\in \mathbb{N}$，$\overline{U_n}$ 紧致且 $\mu(U_{n+1}\setminus U_n)>0$，则 $L^2(X,\mu)$ 不是忠实平坦 $L^\infty(X,\mu)$-模。本文证明了 Hardy 空间 $H^2$ 是平坦但非忠实平坦的 $H^\infty$-模（回答了 Alban Quadrat 于 2005 年提出的问题）。