关于矩阵查询语言的表达力

我们研究了$\mathsf{MATLANG}$的表达力，这是一种基于常见矩阵操作和线性代数的矩阵操作形式语言。该语言可通过矩阵求逆操作$\mathsf{inv}$进行扩展。在$\mathsf{MATLANG}+\mathsf{inv}$中，我们可以计算有向图的传递闭包，而我们发现若无求逆则无法实现。事实上，我们展示了基本语言可在带有算术操作、分组和求和的关系代数中模拟。我们还考虑了对矩阵进行对角化的操作$\mathsf{eigen}$，其定义使得同一特征值返回的不同特征向量彼此正交。我们证明了$\mathsf{inv}$可在$\mathsf{MATLANG}+\mathsf{eigen}$中表达。我们提出一个开放问题：是否存在关于矩阵的布尔查询，或关于图的通用查询，可在$\mathsf{MATLANG} + \mathsf{eigen}$中表达却不能在$\mathsf{MATLANG}+\mathsf{inv}$中表达。$\mathsf{MATLANG} + \mathsf{eigen}$的求值问题被证明对于复杂性类$\exists \mathbf{R}$是完全的。