关于超立方体图划分为3个初始段的存在性

设$Q_n = \{0, 1\}^n$为超立方体图。初始段$I_k \subseteq Q_n$是按二进制顺序由$Q_n$的前$k$个顶点组成的子集。一对整数$(a, b) \in \mathbb{Z}_{>0}^2$被称为适合的，如果当$2^n \geq a+b$时，存在$g_1, g_2 \in \text{Aut}(Q_n)$使得$g_1(I_a) \cup g_2(I_b) = I_{a+b}$；否则$(a,b)$被称为不适合的。对于$a + b + c = 2^n$，$Q_n$可划分为长度分别为$a, b, c$的三个初始段当且仅当$(a, b)$是适合对。因此，适合对与不适合对的概念与超立方体图的图划分问题密切相关。本文引入了一个新的判据，通过一个易于计算的点计数函数来确定$(a,b)$是否适合，并应用该判据生成所有不适合对的集合。进一步证明，满足$0 < a,b \leq 2^n$的不适合对$(a,b)$的数量为$4^n - \binom{4}{1}3^n + \binom{4}{2} 2^n - \binom{4}{1}$，这也是一个$n$元集合到$4$元集合的满射个数。