Chatterjee 秩相关与 Spearman 足迹间精确区域的研究

Chatterjee 秩相关 $\xi$ 已成为一种流行的度量，用于量化随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间定向函数依赖的强度。若 $X$ 和 $Y$ 连续，则 $\xi$ 等于由 $(X,Y)$ 诱导的 copula 与其转置的 Markov 乘积的 Spearman 足迹~$\psi$。我们通过研究所有二元 copula 上可能对 $(\xi, \psi)$ 的可达区域，更深入地分析这两个度量之间的关系。特别地，我们证明对于给定的 $\xi$，$\psi$ 的最大可能值由 Fr\'echet copula 唯一达到。作为这一结果和已知 copula Markov 乘积结果的副产品，我们得到 $\xi\le\psi\le \sqrt{\xi}$ 刻画了随机递增 copula 的精确区域。关于给定 $\xi$ 下 $\psi$ 的最小可能值，我们基于 Jensen 不等式给出了一个下界，并构造了一个可比较接近该下界的双参数 copula 族。