随机性对植入 3-着色模型的影响

我们提出宿主着色框架以研究 $k$-着色问题的算法与困难性结果。存在一个宿主图类 ${\cal H}$。选取一个图 $H\in{\cal H}$ 并在其中植入一个平衡的 $k$-着色（通过将顶点集划分为 $k$ 个大致相等的部分，并移除每个部分内的所有边）。得到的图 $G$ 作为输入提供给一个多项式时间算法，该算法需要对 $G$ 进行 $k$-着色（任何合法的 $k$-着色均可——算法无需恢复被植入的 $k$-着色）。早期的植入模型对应于 ${\cal H}$ 为所有 $n$ 顶点 $d$-正则图构成的类，随机选取一个成员 $H\in{\cal H}$，然后随机植入一个平衡的 $k$-着色。Blum 与 Spencer [1995] 针对 $d=n^{\delta}$（其中 $0<\delta\le1$）的情形设计了该模型的算法，而 Alon 与 Kahale [1997] 即便在 $d$ 为足够大的常数时也成功做到了这一点。我们框架的新之处在于它无需涉及随机性。在该框架内的一个模型（取 $k=3$）中，$H$ 是由对手选取的一个 $d$-正则谱扩张图（意指除其邻接矩阵的最大特征值外，其余特征值的绝对值均远小于 $d$），而被植入的 3-着色是随机的。我们展示了 Alon 与 Kahale [1997] 的 3-着色算法可被修改以适用于此情形。在另一个模型中，$H$ 是一个随机的 $d$-正则图，但被植入的平衡 $3$-着色由对手在观察到 $H$ 后选定。我们证明，对于平均度略低于 $\sqrt{n}$ 的某一范围，寻找一个 3-着色是 NP-困难的。这些结果（以及我们已有的其他结果）共同有助于厘清植入着色模型中随机性的哪些方面是成功 3-着色算法的关键。