条件命中原点的三维布朗运动的狄利克雷型

本文关注由拉普拉斯算子限制在 $C_c^\infty(\mathbf{R}^3\setminus \{0\})$ 上的自伴扩张的特征函数所诱导的能量型。我们将证明该能量型是以 $C_c^\infty(\mathbf{R}^3)$ 为核心的正则狄利克雷型。相关的扩散过程 $X$ 在远离 $0$ 时表现为具有轻微径向漂移的三维布朗运动，而在该点附近受到越来越强的推向 $0$ 的作用。特别地，$\{0\}$ 关于 $X$ 不是极集。扩散过程 $X$ 是旋转不变的，并且在命中 $\{0\}$ 之前允许一个斜乘积表示：其径向部分是 $(0,\infty)$ 上的扩散，其角部分是球面 $S^2$ 上时间变化的布朗运动。$X$ 的径向部分是 $X^0$（ $X$ 在命中 $\{0\}$ 之前的部分过程）径向部分的“反射”扩张。此外，$X$ 是 $X^0$ 的唯一反射扩张，但 $X$ 不是半鞅。