关于 $\mathbb{Z}_{pq}$ 的强 Skolem 起始集

1991 年，N. Shalaby 猜想任意加群 $\mathbb{Z}_n$（其中 $n\equiv1$ 或 3 (mod 8) 且 $n \geq11$）容许一个强 Skolem 起始集，并构造了所有可接受阶 $11\leq n\leq57$ 的这些起始集。Shalaby 等人 [O. Ogandzhanyants, M. Kondratieva and N. Shalaby, \emph{Strong Skolem Starters}, J. Combin. Des. {\bf 27} (2018), no. 1, 5--21] 证明了若 $n=\Pi_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$，其中 $p_i$ 是满足 $ord(2)_{p_i}\equiv 2$ (mod 4) 的素数且 $\alpha_i$ 为非负整数，对所有 $i=1,\ldots,k$，则 $\mathbb{Z}_n$ 容许一个强 Skolem 起始集。另一方面，作者 [A. V\'azquez-\'Avila, \emph{A note on strong Skolem starters}, Discrete Math. Accepted] 给出了不同于 Shalaby 等人的 $\mathbb{Z}_p$ 的强 Skolem 起始集族，其中 $p\equiv3$ (mod 8) 为奇素数。最近，作者 [A. V\'azquez-\'Avila, \emph{New families of strong Skolem starters}, Submitted] 给出了不同于 Shalaby 等人的 $\mathbb{Z}_{p^n}$ 的强 Skolem 起始集族，其中 $p\equiv3$ (mod 8) 且 $n$ 为大于 1 的整数。本文给出了 $\mathbb{Z}_{pq}$ 的一些不同的强 Skolem 起始集族，其中 $p,q\equiv3$ (mod 8) 为素数且满足 $p<q$ 以及 $(p-1)\nmid(q-1)$。