关于Riemann流形上空间过程变化率的统计推断

从部分实现或零散数据对空间过程进行统计推断，在环境科学到商业和经济等多个领域取得了大量发展。针对相关变化率的推断也有了近期的进展。该文献的局限性在于欧几里得域，推断旨在沿着感兴趣的特定方向，在任意位置推断方向导数或沿该方向的变化率。对更高阶变化率，特别是方向曲率的推断在这些应用场景中也很有用。现代空间数据常常来自非欧几里得域。本文尤其考虑定义在紧致黎曼流形上的空间过程。我们为此类过程在向量场上的空间变化率构建了完整的推断框架。为此，我们形式化了过程实现的光滑性，并构造了微分过程——即导数过程和曲率过程。我们推导了确保这些过程存在的核函数条件，并在建立联合多变量过程的有效性上进行了论证，即“父”高斯过程（GP）位于流形上及其相关联的微分过程。我们设计了在流形上实现过程的条件下，对这些变化率进行预测推断。在实际中，流形常以多边形网格的形式出现。我们对在此类网格上观测的过程的导数进行仿真实验的成功性，验证了我们的理论发现。通过增进对流形上高斯过程的理解，本文为机器学习和统计学中广泛使用的领域开辟了多种潜在应用。我们提出了一种基于完全模型的方法，用于从在流形上稀疏位置的部分观测或实现数据所产生的空间过程的微分过程进行推断。