关于图的生成树边依赖性

设$\tau(G)$与$\tau_G(e)$分别为连通图$G$的生成树个数以及$G$中包含边$e$的生成树个数。比值$d_{G}(e)=\tau_{G}(e)/\tau(G)$称为$e$的生成树边密度，或简称为$e$的密度。最大密度$\mbox{dep}(G)=\max\limits_{e\in E(G)}d_{G}(e)$称为$G$的生成树边依赖性，或简称为$G$的依赖性。给定有理数$p/q\in (0,1)$，若存在图$G$与边$e\in E(G)$使得$d_{G}(e)=p/q$，则称密度$p/q$是可构造的。更特别地，若存在图$G$使得$\mbox{dep}(G)=p/q$，则称依赖性$p/q$是可构造的。2002年，Ferrara、Gould与Suffel提出了一个开放问题：哪些有理数密度与依赖性是可构造的。2016年，Kahl给出了构造，表明所有有理数密度与依赖性都是可构造的。此外，他证明了即使将$G$限制为二部图或平面图，所有有理数密度也都是可构造的。他因而猜想即使将$G$限制为二部图（猜想1）或平面图（猜想2），所有有理数依赖性也都是可构造的。本文中，通过组合与电网方法，首先我们证明了所有有理数依赖性均可通过二部图构造，从而确认了Kahl的第一个猜想。其次，我们证明了所有有理数依赖性对平面多重图都是可构造的，从而确认了Kahl关于平面多重图的第二个猜想。然而，对于（简单）平面图，我们通过证明任意平面图的依赖性均大于$\frac{1}{3}$反驳了Kahl的第二个猜想。另一方面，我们构造了一族平面图，表明所有有理数依赖性$p/q>\frac{1}{2}$均可通过平面图构造。