关于 Siegel 函数的若干算术性质 (II)

设 $K$ 是判别式 $d_K\leq-7$ 的虚二次域。我们利用 Siegel 函数的奇异值处理在 $K$ 的阿贝尔扩张之间构造正规基的问题。首先，我们证明由 Frobenius 行列式关系得到的一个判据能够使我们找到 $K$ 上具有有界导子（依赖于 $d_K$）的环类域的正规基。其次，记 $K_{(N)}$ 为 $K$ 模整数 $N\geq2$ 的射线类域，我们考虑对于素数 $p\geq5$ 和与 $p$ 互素的整数 $m\geq1$ 的域扩张 $K_{(p^2m)}/K_{(pm)}$，然后利用 Kawamoto 的论证找到 $K_{(pm)}$ 上所有中间域的正规基。此外，我们进一步研究了域扩张 $K_{(p^{n}m)}/K_{(p^{\ell}m)}$（其中 $n\geq 2\ell$）的某些 Galois 模结构，这将是对 Komatsu 工作的推广。