关于 Shapley 值与阈值区间

设 $f\colon \{0,1\}^n\to \{0,1\}$ 是一个单调布尔函数，令 $\psi_k(f)$ 表示第 $k$ 个变量的 Shapley 值，$b_k(f)$ 表示第 $k$ 个变量的 Banzhaf 值（影响力）。我们证明，若对所有 $k$ 均有 $\psi_k(f) \le t$，则 $f$ 的阈值区间长度为 $\displaystyle O \left(\frac {1}{\log (1/t)}\right)$。我们还证明，若 $f$ 是平衡的且对每个 $k$ 均有 $b_k(f) \le t$，则 $\displaystyle \max_{k} \psi_k(f) \le O\left(\frac {\log \log (1/t)}{\log(1/t)}\right)$。