关于带滑块随机图的刚性、可定向性与核

假设你在平面上的点之间添加刚性杆，并假设恒定比例 $q$ 的点可以在整个平面内自由移动；剩余比例的点被约束在称为滑块的固定线上移动。巨大的刚性团簇何时出现？在一般性条件下，答案仅取决于由点（顶点）和杆（边）形成的图。对于随机图 $G \in \mathcal{G}(n,c/n)$，我们找到了作为 $q$ 的函数的线性尺寸刚性分量出现的 $c$ 阈值，推广了 Kasiviswanathan 等人的结果。我们表明，对于 $q \leq 1/2$，巨大分量的出现经历连续相变，而对于 $q > 1/2$ 则经历不连续相变。在我们的证明中，我们引入了介于 1-可定向性和 2-可定向性之间的广义可定向性概念、介于 2-核和 3-核之间的核概念，以及介于 2+1-核和 3+2-核之间的扩展核概念；我们找到了各自阈值的精确表达式以及阈值上方不同核的大小。特别是，这证明了 Kasiviswanathan 等人关于 3+2-核大小的猜想。我们还推导了带滑块刚性的某些结构性质（拟阵和分解为分量），这些性质可能具有独立兴趣。