关于无标度与Erdős-Rényi随机图中的可逆级联

考虑在直径为 $\Delta$ 的简单无向图 $G(V,E)$ 上的如下级联过程。在第零轮，称为种子的顶点子集 $S\subseteq V$ 处于激活态。在第 $i+1$ 轮（$i\in\mathbb{N}$），若某非孤立顶点在第 $i$ 轮中至少有 $\rho\in(\,0,1\,]$ 比例的邻居处于激活态，则其被激活；否则被去激活。对于 $k\in\mathbb{N}$，令 $\text{min-seed}^{(k)}(G,\rho)$ 为在第 $k$ 轮或之前激活所有顶点所需的最小种子数。本文推导了 $\text{min-seed}^{(k)}(G,\rho)$ 的上界。特别地，若 $G$ 连通且存在常数 $C>0$ 与 $\gamma>2$，使得 $G$ 中度为 $k$ 的顶点比例对所有 $k\in\mathbb{Z}^+$ 均至多为 $C/k^\gamma$，则 $\text{min-seed}^{(\Delta)}(G,\rho)=O(\lceil\rho^{\gamma-1}\,|\,V\,|\rceil)$。此外，对于 $n\in\mathbb{Z}^+$，$p=\Omega((\ln{(e/\rho)})/(\rho n))$，在 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 上以 $1-\exp{(-n^{\Omega(1)})}$ 的概率，$\text{min-seed}^{(1)}(G(n,p),\rho)=O(\rho n)$。