Stieltjes系数的表示、差分及其他关系

Stieltjes 系数 $\gamma_k(a)$ 出现在 Hurwitz zeta 函数 $\zeta(s,a)$ 关于其在 $s=1$ 处的单简单极点的展开式中，并且在解析数论及其他学科中具有基础且长期的重要性。我们给出了 Stieltjes 系数的一系列精确结果，包括级数表示和求和关系。其他积分表示提供了有理参数处 Stieltjes 系数的差分。本文的阐述旨在将分析学、特殊函数和特殊数论中的各种主题联系起来，包括对数级数、积分以及 Hurwitz zeta 函数和 Dirichlet $L$ 函数在特殊点处的导数。这些结果具有广泛的理论和计算应用。