关于偏序集的推广与准纠缠标记

2022 年，Defant 与 Kravitz 引入了扩展推广（记为 $\partial$），一个作用于偏序集标记集合上的映射。扩展推广是 Sch\"{u}tzenberger 推广算子的推广，后者是一个被充分研究的对偏序集线性扩张集合进行置换的映射。已知若 $L$ 是 $n$ 元素偏序集 $P$ 的一个标记，则 $\partial^{n-1}(L)$ 是一个线性扩张。这允许我们将 $\partial$ 视为 $P$ 的所有标记集合上的排序算子，其中我们将 $P$ 的线性扩张视为已被排序的标记。需要 $n-1$ 次 $\partial$ 应用才能被排序的标记称为纠缠的；需要 $n-2$ 次的称为准纠缠的。除了计算根树偏序集上推广的纤维大小外，我们计数了一类相对较大的偏序集（称为具萎缩叶的膨胀根树）的准纠缠标记。给定一个具有唯一极小元且极小元恰有一个父元的 $n$ 元素偏序集，由上述枚举可知该偏序集有 $2(n-1)!-(n-2)!$ 个准纠缠标记。使用类似方法，我们概述了一种对任意固定 $k\in\{1,\ldots,n-2\}$ 枚举需要 $n-k-1$ 次应用才能被排序的标记的算法途径。我们还对证明 Defant 与 Kravitz 关于 $n$ 元素偏序集纠缠标记最大可能数量的猜想取得了部分进展。