标记树与 Dyck 瓷砖的枚举

我们研究了通过组合对象 Dyck 瓷砖来对平面标记根树进行部分排序的集合。当该集合的最小元素是 $312$-避免且满足某些额外条件时，该集合的生成函数可以被因式分解。我们通过标记树的覆盖关系定义有理 Dyck 瓷砖的覆盖关系，证明递增和递减标记是双关关系。我们考虑有理 $(a,b)$-Dyck 瓷砖的两种分解：一种是分解为 $ab$ 个 Dyck 瓷砖，另一种是分解为 $a$ 个 $(1,b)$-Dyck 瓷砖。在前一种情况下，我们证明 $(a,b)$-Dyck 瓷砖的权重是 $ab$ 个 Dyck 瓷砖权重之和。在后一种情况下，我们在 $(1,b)$-Dyck 瓷砖上引入覆盖关系，并通过该分解获得 $(a,b)$-Dyck 瓷砖的集合。