关于 Levy 过程的最优马尔可夌耦合

我们研究了两个 Pi 值米尔可夌过程 {X_t} 和 {Y_t} 的最优马尔可夌耦合问题，即寻找一种耦合过程 {(X_t, Y_t)} 以最小化期望费用 E^{(x,y)}[c(X_t, Y_t)] 在 t = 0 右导数，对于所有初始状态 (x,y) 在 Pi^2 以及给定的 Pi 上的费用函数 c。该问题最初由 Chen (1994) 为漂移扩散过程提出并求解，后被 Zhang (2000) 扩展至具有有界跳跃的马尔可夌过程。在本文中，我们通过引入 Levy 测度之间“Levy 最优传输问题”的新表述，解决了 Levy 过程在二次费用 c(x,y) = 1/2 |x - y|^2 下的情况。我们证明， resulting optimal coupling process {(X_t*, Y_t*)}_{t >= 0} 满足最小增长性质：对于每个 t >= 0 和 x,y 在 R^d，E^{(x,y)}|X_t* - Y_t*|^2 在所有米尔可夌耦合中均被最小化。我们方法的一个关键特征是发展出一个对生成器的测试函数形式的对偶问题。我们证明了该表述下的强对偶，从而闭合了最优性间隙。作为副产品，我们获得了 Levy 生成器和 Levy 测度（具有有限第二 Moments）空间上的 Wasserstein 型度量，并建立了其若干基本性质。