关于不等式 $|z^n-1|\geq|z-1|$

已知不等式 $|z^n-1|\geq|z-1|$ 在圆 $|z-1/2|=1/2$ 上成立，其中 $n$ 是正整数。我们证明实际上 $n$ 可以是大于等于1的实数。我们还证明以下引理：对于实数 $n>3$ 和 $2\pi/(n+1)\leq x < \pi/2$，有 $\cos^n x < 1 - \sin x$。