关于有限群非循环图中的哈密顿性与完美码

设 $G$ 为一个有限非循环群。定义 $\mathrm{Cyc}(G)$ 为所有元素 $a \in G$ 的集合，即对于任意 $b\in G$，生成的子群 $\langle a, b \rangle$ 为循环子群。图 $\Gamma(G)$ 称为 $G$ 的非循环图，是一个简单无向图，其顶点集合为 $G \setminus \mathrm{Cyc}(G)$，其中两个互异顶点 $x$ 和 $y$ 若其生成的子群 $\langle x, y \rangle$ 非循环，则它们相邻。若图 $\Gamma(G)$ 的顶点集的一个独立子集 $C$ 满足其余每个顶点恰好与 $C$ 中的一个顶点相邻，则称 $C$ 为 $\Gamma(G)$ 的完美码。若图 $\Gamma(G)$ 的顶点集的一个子集 $T$ 满足图中每个顶点恰好与 $T$ 中的一个顶点相邻，则称 $T$ 为 $\Gamma(G)$ 的总完美码。本文证明，对任意有限非循环 nilpotent 群 $G$，图 $\Gamma(G)$ 必为哈密顿图。我们还描述了所有有限群的特征，使得其非循环图 admits 完美码。最后，我们证明，对有限非循环 nilpotent 群 $G$，其非循环图 $\Gamma(G)$ 不 admits 总完美码。