关于 $G_{n, d}$ 相对于 $G_{m, d}$ 的展开

在若干工作中，Mendel 和 Naor 引入并发展了围绕非线性展开常数的理论，该常数类似于图的序列的谱隙，其中考虑了将图 $G$ 嵌入度量空间 $X$ 的问题 \cite{mendel2010towards, mendel2013nonlinear, mendel2014expanders}。这里，我们研究了一个开放问题：当嵌入到随机正则图 $G_{m, d}$ 的度量空间中时，随机正则图 $G_{n, d}$ 是否几乎必然(a.a.s.)为扩张图，其中 $m\leq n$。我们证明若 $m$ 固定，答案是肯定的。此外，当 $m\to \infty$ 时，我们在 $d$ 固定或 $d\to \infty$ 且满足约束 $d=o(m^{1/2})$ 的情况下给出了该问题的部分解。