关于退化双非负投影问题

双非负（DNN）锥作为所有元素非负的正半定矩阵的集合，是计算上难解的完全正锥的一种常用近似。实现 Newton 型方法以计算给定大规模矩阵到 DNN 锥的投影的主要困难在于约束非退化性可能失效，后者是非线性规划中线性独立约束规范的一种推广。这种失效会导致表示 Karush-Kuhn-Tucker 最优性条件的非光滑方程的 Jacobian 矩阵奇异，从而阻碍半光滑 Newton-CG 方法以理想收敛速率求解该方程。在本文中，我们通过求解由增广拉格朗日方法（ALM）生成的一列条件数更好的非光滑方程，而非求解上述单个奇异方程，来克服前述困难。借助与正半定锥相关联的法锥的度量次正则性，我们导出确保底层问题对偶二次增长条件的充分条件，进而得到所提 ALM 的渐近超线性收敛性。我们给出了在困难的随机生成算例以及来自半定规划库的算例上的数值结果，以证明该算法在计算 DNN 投影至极高精度时的效率。