基于 Cartan 分解构造 $SL(2, \mathbb{C})$ 的有限平均集

在量子信息科学或量子光学等迅速发展的物理分支的诸多情境中，都会出现对李群上物理量的平均。这种平均过程总可以表示为对群中有限个元素的平均，称为有限平均集。在先前研究中，此类被称为 $t$-设计的集合仅针对酉群上的平均构造（故有酉 $t$-设计之名）。本工作中，我们研究为一般非紧矩阵李群上的平均构造有限平均集的问题，由于群流形上的一致不变测度（Haar 测度）是无限的，这是一项微妙得多的任务。我们基于群的 Cartan 分解给出了此类集合的一般构造，该分解将群拆分为紧致和非紧致分量。紧致部分上的平均可以均匀方式进行，而非紧致部分上的平均必须赋予抑制权重函数，并可使用广义 Gauss 求积来处理。这引导我们得到半单矩阵李群有限平均集的乘积形式，即分别关于紧致和非紧致部分的有限平均集之积。我们给出了该群 $SL(2, \mathbb{C})$ 此类集合的显式计算，尽管我们的构造可应用于其他情形。我们结果的可能应用涵盖在量子信息科学和量子光学中寻找随机操作的有限系综，其可用于构造随机化量子算法，包括光学干涉实现。