论 Well 群的可计算性与平凡性

在一种特殊但重要的情况下，well group 的概念捕捉了紧空间 K 上连续映射 $f:K\to R^n$ 的零点集的同调性质，这些性质关于 f 的扰动是不变的。扰动是指给定 r>0 时与 f 的 $L_\infty$ 距离在 r 之内的任意连续映射。该方法的主要缺陷是，well group 的可计算性仅在 dim K=n 或 n=1 时被证明。我们对 well group 理论的贡献有两个方面：一方面我们改进了可计算性问题，另一方面我们给出了一系列 well group 是不完全不变量的例子，即未能捕捉零点集的某些重要鲁棒性质。对于第一部分，我们确定了 well group 的一个可计算子群，该子群由 f 对 R^n 的定向的拉回与 cap 乘积得到。换言之，well group 可以从下方进行算法逼近。当 f 光滑且 dim K<2n-2 时，我们对第 (dim K-n) 个 well group 的逼近是精确的。对于第二部分，我们找到了映射 $f,f': K\to R^n$ 的例子，其所有 well group 同构，但它们的扰动具有不同的零点集。我们讨论了用具有更好描述力和可计算性状态的不变量的可能替代方案来取代向量值映射的 well group。