绝对积分闭合 $p$-adic 完备的完全积分闭性

固定一个素数 $p$，设 $(R,\mathfrak{m})$ 为一个特征为 $(0,p)$ 的混合特征的 Noether 局部完整域，其分数域为 $K$。设 $R^+$ 表示 $R$ 在代数闭包 $\overline{K}$ 中的绝对积分闭包，即 $R$ 在 $\overline{K}$ 中的积分闭包。第一个作者已证明 $\widehat{R^+}$，即 $R^+$ 的 $p$-adic 完备，是积分域。在本文中，我们证明 $\widehat{R^+}$ 在 $\widehat{R^+}\otimes_{R^+}\overline{K}$ 中是完全积分闭合的，但当 $\dim(R)\geq 2$ 时，$\widehat{R^+}$ 在其自身分数域中不是完全积分闭合的。