实直线上与 Gromov-Wasserstein 距离相关的指派问题

设 $x_1 < \dots < x_n$ 与 $y_1 < \dots < y_n$，$n \in \mathbb N$，为实数。我们通过一个例子说明，当 $n > 2 +2^\alpha$ 时，指派问题 $$\max_{\sigma \in S_n} F_\sigma(x,y) := \frac12 \sum_{i,k=1}^n |x_i - x_k|^\alpha \, |y_{\sigma(i)} - y_{\sigma(k)}|^\alpha, \quad \alpha >0,$$ 一般既不被恒等排列 (id) 也不被反恒等排列 (a-id) 所解决。事实上，上述最大值可依赖于点的数量，与 $F_\text{id}(x,y)$ 和 $F_\text{a-id}(x,y)$ 任意地远。研究此类指派问题的动机源于它们与近来备受关注的 Gromov-Wasserstein 散度的关联。