关于 $\ell_2^2$ 最小和聚类的可近似性

$\ell_2^2$ 最小和 $k$-聚类问题要求将输入集合划分为 $C_1,\ldots,C_k$ 以最小化 $\sum_{i=1}^k\sum_{p,q\in C_i}\|p-q\|_2^2$。虽然 $\ell_2^2$ 最小和 $k$-聚类是 NP-hard 的，但尚不知道是否在某个因子之外对其进行近似是 NP-hard 的。本文给出了 $\ell_2^2$ 最小和 $k$-聚类问题的第一个近似难度结果。我们证明，对该问题进行更好于 $1.056$ 倍的近似是 NP-hard 的，此外，假设满足平衡的约翰逊覆盖假设，则更好于 1.327 倍的近似也是 NP-hard 的。我们 then 补充了 hardness 结果，通过给出 nearly linear 时间的参数 PTAS 来解决该问题，运行时间为 $O\left(n^{1+o(1)}d\cdot \exp((k\cdot \varepsilon^{-1})^{O(1)})\right)$，其中 $d$ 为输入数据集的维数。最后，我们考虑学习增强设置，即算法可访问返回输入点标签 $i\in[k]$ 的 oracle，从而在一定程度上隐式地将输入数据集划分为 $k$ 个聚类，产生近似最优解，误差为 $\alpha\in\left[0,\frac{1}{2}\right)$。我们给出一个多项式时间算法，输出 $\frac{1+\gamma\alpha}{(1-\alpha)^2}$ 倍的近似解，其中 $\gamma>0$ 为固定常数。