关于 Rudin 算术级数中平方数的猜想
数论
2014-11-12 v1 代数几何
摘要
令 Q(N;q,a) 表示对于 n=0, 1,...,N-1，算术级数 qn+a 中平方数的个数，并令 Q(N) 为所有非平凡算术级数 qn+a 中 Q(N;q,a) 的最大值。Rudin 猜想断言 Q(N)=O(Sqrt(N))，且在其更强形式中断言若 N=> 6，则 Q(N)=Q(N;24,1)。我们证明了上述猜想对于 6<=N<=52 成立。我们甚至证明了，对于使得 Q(N) 增加的 N 值（即 N=8,13,16,23,27,36,41 和 52），算术级数 24n+1 在等价意义下是唯一包含 Q(N) 个平方数的级数。这使我们能够断言我们称之为超强 Rudin 猜想的命题：设对于某个整数 k 有 N=GP_k+1=> 8，其中 GP_k 是第 k 个广义五边形数，则在 gcd(q,a) 无平方因子且 q> 0 的情况下，Q(N)=Q(N;q,a) 当且仅当 (q,a)=(24,1)。
引用
@article{arxiv.1301.5122,
title = {On a conjecture of Rudin on squares in Arithmetic Progressions},
author = {Enrique González-Jiménez and Xavier Xarles},
journal= {arXiv preprint arXiv:1301.5122},
year = {2014}
}