关于通过偏微分方程计算形状厚度的方法
偏微分方程分析
2025-11-18 v1
摘要
本文提出了一种椭圆偏微分方程（PDE）用于计算给定形状几何厚度的方法的数学分析。该基于PDE的公式提供了一种直接且系统的方法来评估厚度，通过求解椭圆方程得到向量场，随后从中提取厚度作为散度。虽然该基于PDE的厚度对简单几何形状（如区间和直向带）的收敛性已被严格证明，但其对更一般形状的有效性仍是开放问题。本文将分析扩展到环形域，其中曲率效应具有非平凡性。我们证明了当扩散参数趋于零时，基于PDE的厚度收敛于几何厚度，通过估计两种厚度概念之间的差异与扩散参数的平方根。针对环形域获得明确表达式，涉及修正的伯努利函数，并给出其比率的尖锐不等式。这些结果为基于PDE的厚度提供了严格的数学基础，证明了其作为形状分析和拓扑优化工具的可靠潜力。
引用
@article{arxiv.2511.12973,
title = {On a calculation method of the thickness via partial differential equations},
author = {Atsushi Nakayasu and Takayuki Yamada},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.12973},
year = {2025}
}