关于Copula、分位数、秩与谱：谱分析的$L_1$方法

本文提出了一种用于单变量严平稳时间序列 $\{Y_t\}_{t\in \mathbb {Z}}$ 谱分析的替代方法。我们将一个“新”谱定义为对 $(Y_t,Y_{t-k})$ 对的 copula 与独立性 copula 之差的 Fourier 变换。该对象被称为 copula 谱密度核，能够分离时间序列的边际方面与序列方面。我们证明该谱与分位数回归的概念密切相关。正如分位数回归比经典的位置-尺度回归模型提供更多关于条件分布的信息一样，copula 谱密度核比由经典自协方差得到的传统谱密度包含更多信息。具体而言，copula 谱密度核在其总体版本中（在其样本版本中渐近地）提供了所有 $(Y_t,Y_{t-k})$ 对的 copula 的完整描述。此外，它们继承了经典分位数回归的稳健性性质，且不需要诸如有限矩存在等任何分布假设。为了估计 copula 谱密度核，我们引入了基于秩的 Laplace 周期图，其计算为观测时间序列的秩向调和回归模型的加权 $L_1$ 投影的双线性形式。我们建立了这些周期图的渐近分布，并证明了适当平滑版本的一致性。通过模拟和简短的实证例子，简要考察了新方法的有限样本性质及其应用潜力。