拟阵秘书问题的 $O(\log \log \text{rank})$ 竞争比

在\textit{拟阵秘书问题} (MSP) 中，拟阵基集的元素及其数值被逐个在线揭示。如果 MSP 算法在其执行的每个阶段：(i) 仅知晓目前已揭示的元素及其数值，且 (ii) 可访问一个预言机以测试目前已揭示元素的任意子集是否为独立集，则该算法被称为\textit{拟阵未知}。如果除了 (i) 和 (ii) 之外，算法还初始知晓拟阵基集的基数，则称该算法为\textit{已知基数}。我们在此提出一种\textit{已知基数}且\textit{顺序无关}的算法，该算法以常数概率选择一个独立集，其数值至少为最优值除以 $O(\log{\log{\rho}})$，其中 $\rho$ 为拟阵的秩；也就是说，该算法具有 $O(\log{\log{\rho}})$ 的\textit{竞争比}。此前针对已知基数算法的最佳结果是由 Babaioff \textit{等人} (2007) 提出的 $O(\log{\rho})$ 竞争比，以及由 Chakraborty 和 Lachish (2012) 提出的 $O(\sqrt{\log{\rho}})$ 竞争比。在许多非平凡情况下，我们提出的算法具有优于 $O(\log{\log{\rho}})$ 的竞争比。未能做到这一点的案例易于表征。理解这些案例可能会带来该问题的改进算法，或者反过来，带来非平凡的下界。